이차방정식 계산기

근의 공식과 판별식

이차방정식 ax² + bx + c = 0의 근은 x = (−b ± √(b² − 4ac)) ÷ 2a로 구합니다. 제곱근 안의 b² − 4ac를 판별식이라 부르고 이 값의 부호가 근의 개수를 정합니다. 양수면 서로 다른 두 실근, 0이면 중근 하나, 음수면 실근이 없고 허근 두 개가 나옵니다.

이 도구는 a·b·c를 넣으면 판별식 값과 부호를 먼저 보여 주고 그에 맞는 근을 냅니다. 판별식이 음수일 때는 '근이 없다'로 끝내지 않고 실수부와 허수부를 나눠 허근까지 표시합니다. a가 0이면 이차방정식이 아니라 일차방정식이므로 별도로 알려 줍니다.

부동소수점 계산 특성상 아주 작은 오차가 생길 수 있어 결과는 소수 열째 자리에서 반올림하고 −0처럼 보기 싫은 값은 0으로 정리합니다. 시험 문제처럼 정수 계수를 넣으면 대부분 깔끔한 값이 나옵니다.

인수분해와 완전제곱으로 푸는 방법

근의 공식은 만능이지만 손으로 풀 때는 인수분해가 빠릅니다. x² + 5x + 6 = 0은 곱해서 6, 더해서 5가 되는 두 수 2와 3을 찾아 (x + 2)(x + 3) = 0으로 쓰면 근이 −2와 −3입니다. 도구에 1·5·6을 넣어 근이 맞는지 검산하는 식으로 쓰면 인수분해 연습에 도움이 됩니다.

완전제곱식은 x² + 6x + 5 = 0을 (x + 3)² − 4 = 0으로 고쳐 x + 3 = ±2에서 근을 얻는 방법입니다. 이 과정에서 나오는 (−3, −4)가 바로 포물선의 꼭짓점이고 도구가 표시하는 꼭짓점 좌표는 같은 계산으로 얻습니다. 꼭짓점의 x좌표는 −b ÷ 2a, y좌표는 그 x를 대입한 값입니다.

판별식이 0이면 완전제곱식이 그대로 됩니다. x² − 4x + 4 = (x − 2)²이라 중근 2 하나이고 포물선은 x축에 한 점에서만 닿습니다. 그래프에서 포물선이 x축과 몇 번 만나는지가 근의 개수와 같다는 것을 눈으로 확인할 수 있습니다.

실생활 예: 포물선과 이익 최대점

던진 공의 높이는 시간의 이차식으로 나타납니다. 높이 h = −5t² + 10t + 1.5처럼 쓰면 h = 0이 되는 t를 풀어 공이 땅에 닿는 시각을 알 수 있고 꼭짓점의 y좌표가 최고 높이입니다. 도구에 −5·10·1.5를 넣으면 양의 근이 착지 시각, 꼭짓점이 최고점입니다.

가격을 올리면 판매량이 줄어드는 상품의 이익도 이차식입니다. 이익 = −2x² + 120x − 1,000 같은 식이라면 꼭짓점의 x가 이익이 최대가 되는 가격이고 근은 이익이 0이 되는 손익분기 가격 두 개입니다. a가 음수라 포물선이 아래로 볼록해서 꼭짓점이 최댓값이 됩니다.

넓이 문제도 흔합니다. 둘레가 40인 직사각형의 넓이는 가로를 x라 하면 x(20 − x) = −x² + 20x이고 꼭짓점 x = 10에서 최대, 즉 정사각형일 때 넓이가 가장 큽니다. 식을 세우기만 하면 근과 꼭짓점은 도구가 바로 보여 줍니다.

그래프는 근과 꼭짓점을 지나도록 축 범위를 자동으로 잡아 그립니다. 계수를 바꾸면 포물선의 폭과 방향이 어떻게 변하는지 바로 보이므로, a의 부호와 절댓값이 그래프에 미치는 영향을 익히는 데도 쓸 수 있습니다.